Mesure de l’efficacité technique des

La courbe illustrée sur cette figure est une frontière de production représentative dune fonction de production à court terme. Cette fonction de production décrit une relation fonctionnelle ente la quantité maximale produite et lensemble des combinaisons efficaces dinputs variables. Elle sexprime par la relation suivante: Y=F (L).Avec Y est loutput et L est linput variable (travail).Perelman (1996) affirme que la frontière est une sorte denveloppe, qui coïncide avec lensemble des points identifiés comme représentatifs de la meilleure pratique dans le domaine de la production, et par rapport à laquelle, la performance de chaque entreprise sera comparée.

Cette frontière fait la démarcation entre la zone de possibilités techniques de production et celle dimpossibilités techniques de production. Elle trace lensemble des combinaisons techniques de production qui sont à la fois efficaces et réalisables, cest-à-dire qui permettent de produire la quantité maximale doutput en utilisant un niveau donné dinput.Tout point situé au dessus de la courbe appartient à la zone dimpossibilité de production. Donc, il est techniquement inacceptable de produire au delà de la frontière. En contrepartie, tout point situé au dessous de la courbe illustre une technique de production réalisable mais non efficace.

Dans ce cas, la firme souffre dun problème de gaspillage des ressources car elle peut mieux faire avec le même niveau dinputs. La technique de production qui est à la fois réalisable et efficace se trouve sur la frontière de production.

On peut interpréter le niveau de linefficacité selon deux points de vue :
Inefficacité 1 : En se projetant sur laxe parallèle à celui des inputs, il est possible de produire le même niveau doutput avec une quantité moindre dinputs. Le degré de linefficacité technique est le ratio entre le niveau de production observé et le niveau techniquement efficace c’est-à-dire le niveau de production optimal.
Inefficacité 2 : En se projetant sur laxe parallèle à celui des outputs, on peut dire quil sera possible de produire avec la même quantité dinputs une quantité plus élevée doutputs. Une firme est dite techniquement efficace si elle assure la production maximale doutput tout en respectant son contrainte budgétaire. La valeur de lefficacité technique varie entre 0 et 1, la valeur 1 désigne lefficacité absolue située sur la frontière de production et donc tout écart entre 1 et la valeur observée désigne le degré dinefficacité technique.

Economiquement parlant, le court terme est un horizon de décision de lentreprise où elle ne peut ajuster son niveau de production quen agissant sur ses inputs variables en maintenant les autres inputs fixes.

Ces inputs variables sont ceux les plus flexibles dont lentreprise peut les manipuler à nimporte quel moment pour augmenter sa production. Cependant, à long terme, lentreprise doit agir aussi bien sur ses inputs variables que ceux considérés comme fixes à court terme. Par conséquent, sa fonction de production sera tributaire à tous ses inputs. Pour simplifier, lanalyse économique agrège ces facteurs en deux inputs : le travail (L) et le capital (K) et chaque technique de production sera composée dun couple dinputs (K,L) : Y = F(K, L).Cette fonction indique la quantité maximale doutput quune entreprise doit produire en combinant dune manière efficace certaines quantités des inputs K et L. Graphiquement, cette fonction de production de long terme peut être représentée par un ensemble de courbes disoquants tracées sur un repère à deux dimensions où ses axes illustrent les quantités des inputs exploitées.

Lisoquant est le lieu géométrique de toutes les combinaisons des facteurs de production (travail et capital) techniquement réalisables et efficaces, permettant de produire un même niveau doutput: {(K, L) / F(K, L) = }. Il fournit une représentation de la frontière de production relative à lexploitation efficace des inputs. Il décrit donc une relation entre les quantités du stock de capital et du travail permettant de produire un niveau donné doutput Y; K = F(L) où Y = .Pour chaque niveau doutput, on peut tracer une courbe disoquant spécifique. Plus que cette courbe séloigne de lorigine plus quelle indique un niveau de production plus important.La courbe de lisoquant est décroissante car les facteurs de production (L et K) sont supposés substituables. Elle est aussi convexe dans la mesure où la production est concave (la loi de rendement marginaux décroissants). Les courbes disoquant ne se coupent jamais.La figure ci-dessous illustre une courbe disoquant. Il y a autant des niveaux de production possibles. Il y en a donc une infinité disoquants puisque Y est une variable continue. P Q R Y0 O

Tout point appartenant à cette courbe est une combinaison technique de production qui est à la fois réalisable et techniquement efficace pour produire un niveau donné doutput (Y= Y0).Pour un niveau donné doutput (Y0), une firme est techniquement inefficace lorsquelle se situe au dessus de cette courbe (le point P). Le point R, au dessous de la courbe d’isoquant, est techniquement inaccessible. A ce point, la technique envisagée (KR, LR) ne permet pas de produire Y0 faute de capacités techniques suffisantes.Au point P, on utilise plus de quantité dinputs travail et de capital pour produire Y0.

On note donc quil existe un problème de gaspillage des moyens de productions et des ressources, car elle peut produire une même quantité doutput avec moins de quantités dinputs K et L. Elle est donc techniquement inefficace. En réduisant lutilisation des facteurs de production K et L tout au long du rayon OP jusquau point Q, la firme peut produire le même niveau doutput mais avec un vecteur plus petit dinputs. De point de vue géométrique, Farrell (1957) définit lefficacité technique (ET) par le rapport OQ/OP. En effet, lefficacité technique est comprise entre 0 et 1 (0 ET 1), ce qui implique que tous les points situés sur la courbe disoquant sont techniquement efficaces et ont un degré defficacité technique égal à 1.La distance QP dans le rayon OP mesure linefficacité technique du producteur localisé dans le point P, cette distance représente la quantité à réduire par tous les inputs sans accroître la quantité doutput.1.2. Lefficacité allocative Daprès Farrell (1957), on peut décomposer l’efficacité économique d’une firme en deux sources defficacité: une technique et lautre allocative.

Comme on la défini précédemment, lefficacité technique implique que lentreprise doit produire le niveau maximal doutput en utilisant un niveau donné dinput. Elle reflète donc laptitude de lentreprise à éviter les gaspillages. Tout point appartenant à la frontière des possibilités de production est une combinaison dinputs techniquement efficace. Sur la figure 2, le point Q est techniquement efficace car il appartient à la courbe disoquant définie par rapport à un niveau d’output donné (Y0), alors que le point P est techniquement inefficace car il est au dessus de la courbe disoquant. Il existe une infinité des combinaisons techniquement efficaces dont leur lieu géométrique forme la courbe d’isoquant.

Mais laquelle est meilleure?

Etant donnée les prix des inputs, lentreprise va choisir la combinaison la moins coûteuse. Graphiquement, cette contrainte de coût est représentée par la droite d’isocoût [A, A’] définie par rapport à un niveau donné de coûts des facteurs. Tout point appartenant à cette droite est allocativement efficace. Donc, lefficacité allocative implique laptitude de lentreprise à choisir la combinaison la moins coûteuse pour produire un niveau donné doutput. En effet, la substituabilité entre les inputs permet davoir des niveaux de coûts plus faibles. Par ailleurs, l’inefficacité allocative correspond à une utilisation des inputs dans des proportions inappropriées conduisant à un enrichissement des coûts de production.

Cependant, toute combinaison allocativement efficace (appartenant à la droit d’isocoût [A, A’]), n’est pas nécessairement techniquement efficace. Il existe une seule combinaison qui est efficace à la fois de point de vue technique et allocative, cest celle qui respecte la condition déquilibre du producteur. Cet équilibre de producteur est induit dun programme doptimisation de lentreprise qui cherche soit à maximiser sa production pour une enveloppe budgétaire donnée, soit à minimiser ses coûts de production pour produire un niveau doutput donné, soit aussi à maximiser ses profits en tenant compte du prix et de la demande du marché.

Quelque soit le programme et lobjectif admis, la condition déquilibre du producteur doit vérifier légalité entre le taux marginale de substitution technique des facteurs de production (K et L) équivalent au rapport des productivités marginales de ces facteurs et leurs prix : TMST L/K = Graphiquement, léquilibre de producteur est atteint à un seul point : Cest le point de tangence entre lisocoût et l’isoquant, soit le point Q. Léquilibre de producteur est identifié par un choix optimal dune combinaison de technologie de production permettant au producteur datteindre son objectif et dêtre économiquement efficace. Le producteur cherche à être sur la courbe disoquant la plus élevée lui permettant de maximiser son profit, cependant, il est doté initialement par un budget bien déterminé qui sera affecté à lachat de ses inputs.

Cette contrainte budgétaire est représentée par la droite disocoût.La combinaison Q coûte moins chère que la combinaison Q malgré qu’elle produit un même niveau d’output (Y0). L’écart de coût entre ces deux points peut être mesuré par la distance entre Q et R. Avec R est le point dintersection entre la droite disocoût et celle de lintensité capitalistique ( ) passant par le point Q. Le rapport mesure le degré d’inefficacité allocative. Il est compris aussi entre 0 et 1. L’efficacité totale peut être évaluée par le rapport tel que : . C’est le produit entre l’efficacité technique et celle allocactive. Notons que le point P est inefficace techniquement et allocativement.

Efficacité technique et efficacité allocative : cas de deux inputs et un seul output, Farell (1957) Lefficacité économique est atteinte lorsque le producteur utilise la meilleure technique de production avec le coût unitaire le plus faible. Une firme est dite économiquement efficace lorsquelle cherche à choisir la combinaison minimale des inputs (de point de vue quantité) et la moins coûteuse (de point de vue budgétaire) permettant de produire un niveau donné doutput.

Cest un concept qui englobe à la fois lefficacité technique et celle allocative.Pour être économiquement efficace, une firme doit répondre à trois conditions :- Il faut que son système de production soit à un niveau déquilibre au sens de Pareto ;- Il faut quaucun facteur de production ne puisse être ajouté sans augmentation correspondante doutputs ;- Il faut que la production sopère à un coût unitaire minimal en permettant ainsi de réaliser des économies déchelle.Chaque firme doit sélectionner entre un ensemble des techniques de production, selon un principe de rationalité, la combinaison qui lui permet de produire plus, tout en tenant compte de ses contraintes de la rareté des ressources (létat technologique, les contraintes budgétaires et techniques, etc.) qui lempêchent de produire nimporte quel niveau doutput.

Pour cela, il importe de sappuyer sur « la frontière de production » qui apporte toutes les informations nécessaires sur le niveau optimal de production. 1.3. Lefficacité déchelle Ce type defficacité traduit la capacité de la firme à opérer à une échelle optimale. En dautres termes, une entreprise qui dispose dune efficacité déchelle est celle qui arrive à atteindre sa taille minimale defficience et donc à réduire son coût moyen de production.

Lefficacité d’échelle correspond à la mesure du coût moyen minimal de production par une firme ayant des meilleures pratiques et le compare avec le coût moyen observé par une autre firme ayant aussi des meilleures pratiques et produisant les mêmes outputs en vue de détecter lécart observé entre la taille optimale defficience et la taille observée.

Lefficacité déchelle est le résultat de la croissance de lentreprise à plus long terme (Kox et van Leeuwen, 2013). Elle se réfère à lhypothèse des rendements déchelle constants . Elle mesure non seulement la capacité de lentreprise à utiliser pleinement ses inputs, mais aussi, sa capacité à atteindre la taille critique qui minimise ses coûts moyens de production.La figure suivante illustre ce concept de lefficacité déchelle. En fait, lorsque les rendements déchelle sont constants, la frontière de production prend une forme linéaire passant par lorigine.

Alors que lorsque les rendements déchelle sont variables (croissants ou décroissants) la frontière de production prend lallure dune courbe concave.Lefficacité déchelle peut être mesurée par lécart observé entre la frontière de production en présence des rendements déchelle variables (VRS: Variable Return to Scale) et celle en présence des rendements déchelle constants (CRS: Constant Return to Scale).

Les points A et E, sont techniquement efficaces car ils sont situés sur la frontière VRS, mais ils nont pas encore atteint la taille critique qui leurs permet de réduire leurs coûts moyens de production. Distinction entre efficacité technique pure et une efficacité déchelle. On distingue deux situations de VRS : Une situation où laugmentation de la production a un impact positif sur la productivité totale, on est donc dans la phase des rendements déchelle croissants (Insrease Return to Scale) cest le cas des points A et D. Cette situation implique un coût moyen qui baisse avec la production.

On dit donc quil y a une capacité de production excédentaire, c’est-à-dire que lentreprise peut produire une plus grande quantité au moindre coût afin daméliorer son efficacité déchelle, doù, une variation dans la production doutput de 1% implique une variation dans les coûts de moins de 1%. En dautres termes, laugmentation de la quantité produite implique une réduction de coût moyen de production.

Les IRS sévoluent jusquau point B qui fait la démarcation entre les phases des VRS et des CRS.En contrepartie, la seconde situation de la VRS implique un impact négatif de laccroissement de la taille sur la productivité, on est dans une situation des rendements déchelle décroissants (Deasrease Return to Scale), cest le cas des points C et E où la frontière devient concave et il est impératif donc de réduire leurs niveaux de production. Cette phase implique quil y a un accroissement plus que proportionnel des coûts moyens avec laccroissement des outputs, c’est-à-dire quune variation de 1% de la production implique une variation dans la consommation dinput de plus de 1%.

Les firmes sont donc appelées à réduire leurs niveaux de production au fur et à mesure avec la réduction des coûts jusquà ce quon arrive à la phase des rendements déchelle constants (le point B).Pour les points situés sur la frontière CRS, ils opèrent à léchelle optimale defficience. Ils ont atteint lefficacité technique et celle déchelle. Pour les autres points placés au dessous de la frontière VRS (D et C), ils ne sont pas efficaces ni pour des rendements constants, ni pour des rendements variables.

Leurs inefficacités sont dues à lincapacité de lentreprise à utiliser pleinement les inputs dune part et à la non atteinte de la taille critique dautre part.Section 2 : Les méthodes destimation de lefficacité techniqueDepuis une trentaine dannées, on assiste à un fort développement de travaux dordres théorique et empirique sur les mesures de lefficacité technique. Ils confirment leur portée dans les méthodes danalyse de la performance managériale et de la mesure de la productivité dans les différentes industries (Cooper et al. 2000 ; Fried et al. 2008).

Parmi ces méthodes, on trouve les ratios partiels de la productivité et les indicateurs issus du domaine de la comptabilité. Ces techniques permettent de fournir beaucoup dinformations sur les firmes analysées sur la base de leurs historiques et peuvent donner une synthèse des activités de lorganisation, mais leur contribution reste restrictive dans le sens où ils napportent quune vision qualitative ainsi que les problèmes rencontrés dans la phase de comparaison entre les unités économiques. Selon Ambapour (2004), ils sont abandonnés par les statisticiens et les économistes du fait quils souffrent de plusieurs limites tant au niveau de la formulation mathématique que de la fiabilité des statistiques utilisées.

A cet égard, en sinspirant des papiers de Farell (1957), plusieurs travaux tendent à apporter des méthodes plus pertinentes issues des théories de la microéconomie de producteur et qui permettent non seulement de calculer les scores defficacité, mais aussi de distinguer entre les firmes efficaces et celles inefficaces, de définir les déviations par rapport à la frontière efficace, de déterminer les écarts et les sources dinefficacité.

Généralement, on distingue deux approches danalyse de lefficacité technique dune entreprise : une approche paramétrique et une approche non paramétrique.Pour lapproche non paramétrique, on va mettre laccent sur le modèle Data Envelopment Analysis (DEA). Il sagit dune technique de programmation linéaire qui se base sur le fondement théorique de Farell dans la détermination de la frontière de production efficace. Par ailleurs, pour lapproche paramétrique, on va sélectionner le modèle Stochastic Frontier Analysis (SFA) issu de lapproche économétrique qui nécessite la sélection dune forme fonctionnelle spécifique (Cobb-Douglas, Translog, etc.) de la fonction de production ou de coût. 2.1.

Le fondement théorique de lapproche non paramétriqueLa modèle le plus utilisé dans cette approche, est celui de DEA « Data Envelopment Analysis ». Il sagit dune méthode qui utilise les techniques de programmation linéaire pour évaluer lefficacité en se référant à une frontière de production efficace par rapport à laquelle les unités de prise de décision ( Decision Making Units : « DMUs ») seront comparées. La DEA est un outil daide à la décision qui repose sur une analyse comparative qui sinspire des théories issues de la microéconomie de producteur et de lapproche de Benchmarking largement utilisée dans le domaine managérial.

Cette méthode vise à calculer un score dinefficacité pour indiquer de combien les inputs doivent être réduits et/ou les outputs doivent être augmentés pour atteindre le niveau optimal defficacité. Elle permet aussi didentifier pour chaque DMU inefficace les sources et les niveaux dinefficacité ainsi que le type des rendements déchelle, en fournissant toutes les informations nécessaires sur la taille observée de la firme et indique par conséquent, si elle doit augmenter ou réduire sa taille defficience.

Elle identifie à travers la définition des pairs de référence, les organisations qui disposent les « Best practice ». Lanalyse DEA se distingue de la technique de régression du fait que la frontière defficacité est déterminée de point de vue de la meilleure pratique et non dun ajustement à travers des valeurs moyennes. Elle permet ainsi didentifier les organisations les plus performantes, qui peuvent servir de références à celles qui le sont moins.Cette méthode est particulièrement intéressante dans la mesure de lefficacité dune DMU car elle est fondée sur une étude comparative entre la DMU la plus efficace de léchantillon et les autres DMUs les moins efficaces.

Le modèle DEA peut être orienté input ou output. Le modèle orienté input est fondé sur la minimisation des quantités des inputs utilisés pour produire un niveau donné doutput. En dautres termes, il mesure la quantité des inputs quune entreprise peut réduire pour produire son niveau constaté doutput. Le modèle orienté output vise à maximiser les outputs pour un niveau donné dinputs. Autrement dit, il indique de combien une organisation peut augmenter ses outputs sans changer le niveau dinputs.Le choix de lorientation du modèle est dicté par lobjectif de lorganisation observée, par sa nature (publique ou privée), par sa position vis-à-vis aux concurrents, etc.

Ferrier et Valdmanis (2006) soulignent que les modèles à orientation input et output vont estimer exactement la même frontière efficace et donc identifier le même ensemble efficace des DMUs, cest seulement pour les firmes inefficaces où on va assister à une légère différence. Cependant, Coelli et Perelman (1996, 1999) relèvent que le choix de lorientation du modèle (input ou output) nimpactera les scores que de manière mineure dans un modèle REV.

On distingue deux principaux modèles dans la méthode DEA, lun est à rendements déchelle constants (ou Constant Returns to Scale : CRS) connu sous le nom CCR proposé par Charnes et al.(1978) et lautre est à rendements déchelle variables (ou Variable Return to Scale : VRS) connu sous lappellation BCC proposé par Banker et al.(1984).

Selon Färe et Lovell (1978) pour une orientation CRS, les mesures input-output de lefficacité technique sont égales, contrairement à une orientation VRS où les résultats ne sont pas conformes.Le modèle CCR : (Charnes, Cooper et Rhodes, 1978) Le modèle CCR a été développé par Charnes et al. (1978) selon lhypothèse des rendements déchelle constants. Il est approprié lorsque toutes les organisations opèrent à leur taille optimale ce qui est rarement le cas.  Ensemble de production CCRLa figure 5 représente un ensemble de DMUs (Decision Making Units) réparties selon leurs niveaux doutput produits en fonction des inputs exploités. Ces DMUs seront comparées par rapport à une frontière defficacité pour une organisation à rendements déchelle constants (la linéarité de la courbe est expliquée par lhypothèse des rendements déchelle constant, la croissance des outputs est proportionnelle avec celle des inputs).

Le point A désigne la DMU de référence la plus efficace, à partir de laquelle, on étudie le positionnement ou le degré dinefficacité des autres DMUs. Les autres DMUs (13 firmes) sont considérées comme inefficaces puisquelles sont situées au dessous de la frontière de production. Le niveau dinefficacité de ces firmes est évalué à partir de la distance de chacune dentre elles par rapport à la frontière defficacité.

Graphiquement, une firme est techniquement efficace lorsquelle se trouve sur la frontière de production (firme A). Analytiquement, ce niveau defficacité technique peut être mesuré par la distance qui sépare la position de la firme par rapport à la frontière des possibilités de production. On suppose quil existe n DMUs produisant chacune un vecteur doutput Yj=(Y1j,..,Yrj,..Ysj) en exploitant certaines quantités des inputs Xj=(X1j,..,Xij,..Xmj) (pour tout j = 1n).

Toutes les DMUs utilisent les mêmes inputs et produisent les mêmes outputs. Notre objectif est de caractériser lensemble de possibilités de production et identifier le sous ensemble efficace pour une orientation input et une orientation output.On pose T, lensemble de possibilités de production qui doit posséder les propriétés suivantes (Charnes et al.1978) : 1) Convexité: Si (Xj, Yj) T, j = 1, …, n et j 0 sont des scalaires non négatifs tels que_(j=1)^nj=1, alors,(_(j=1)^njXj,_(j=1)^njYj) T. 2) Il existe une libre disposition des inputs et des outputs ou propriété dinefficacité : i) Si (X, Y) T et X* X => (X*, Y) T ; ii) Si (X, Y) T et Y* Y => (X, Y*) T. où (X*, Y*) désignent lensemble de production inefficace.3) Expansion radiale : Si (X, Y) T alors (X, Y ) T pour tout > 0.4) Extrapolation minimale : T est lintersection de tous les T satisfaisants les propriétés 1, 2 et 3 et pour lesquels chacune des observations (Xj, Yj) T , j = 1, …, n.

Le modèle CCR consiste en premier lieu à proposer un ratio de productivité qui intègre les différentes ressources productives consommées et les outputs produits. Lefficacité technique correspond donc au ratio suivant : TE= Indice de productivité CCR =Output/InputCet indice proposé par Charnes et al. (1978) est une extension du ratio de la productivité relatif à la fonction de production qui rassemble un input unique à un output unique introduit par Farell (1957).

Selon Charnes et al. (1978), lefficacité technique est définie comme étant la valeur maximale obtenue de lindice «outputs pondérés par rapport aux inputs pondérés » et elle est soumise à une contrainte que les autres ratios soient inférieurs ou égaux à lorganisation référence. Notons que le problème dagrégation est résolu ainsi par un système de pondération, qui ne fait aucune référence à un système de prix.

On expose la formulation mathématique dont la présentation est tirée de Cooper et al. (2007). Maxv,u h0 = (_(r=1)^su_r y_r0 )/(_(i=1)^mv_i x_i0 ) (1)Sujet à (_(r=1)^su_(r ) y_rj )/(_(i=1)^mv_i x_ij )1j=1,,n (2) u_(r ),v_i0 i,r (3)Notons que chaque élément du ratio de productivité est pondéré individuellement par rapport aux autres. En fait, il sagit de tracer la frontière efficace en identifiant les coefficients à accorder à chacun des outputs et des inputs. Le programme mathématique sert à définir les coefficients (ou les poids) optimaux, c’est-à-dire ceux qui maximisent le ratio de la DMUj sous un certain nombre de contraintes.

Après avoir formulé la contrainte et les poids, il faut que ce ratio soit inférieur ou égal à 1 pour toutes les organisations. Il sagit dun coefficient dutilisation des ressources et dont sa valeur doit être comprise entre 0 et 1 . Cette recherche de la valeur maximale du ratio se justifie par lintérêt de faire apparaître la DMUo la plus efficace possible de point de vue technique par rapport aux niveaux defficacité des autres DMUs. Les DMUs techniquement efficaces sont celles dont la valeur h0 est égale à 1. Afin dobtenir le vecteur de poids et un score defficacité h0 [0,1] pour chacune des organisations, on applique une comparaison entre les unités observées et celles de référence.

Cependant, comme lindique plusieurs auteurs tels que Coelli, Rao et Battese (1998), la formulation mathématique comporte un nombre de solutions infini du fait que la contrainte nest pas bornée, c’est-à-dire si (u*,v*) est une solution optimale, alors (u*, v*) lest aussi pour tout > 0 . Il importe donc dajouter une nouvelle contrainte sur _”i=1″ ^”m” “vx” .Maxv, u z0 = _(r=1)^su_(r ) y_r0 (4)Sujet à : _(r=1)^su_(r ) y_rj -_(i=1)^mv_i x_ij0j=1,, n (5)_(i=1)^mv_i x_i0 = 1 (6)u_(r ),v_i0 i,r (7)On applique le théorème de la dualité de la programmation linéaire : min, (8)Sujet à _(j=1)^n_j x_ij = x_i0 si- i= 1,, m (9)_(j=1)^n_j y_rj = yr0 + sr+ r = 1,, s (10)_j, si-,sr+ 0 i, j, r (11) En appliquant ce théorème de la dualité, on obtient légalité des solutions optimales des problèmes mathématiques (4) et (8), c’est-à-dire que Z0* = *.

Ainsi, le théorème de Kuhn-Tucker des complementary slackness conditions ou des «conditions de relâchement supplémentaire » nous indique également quau niveau des firmes efficaces les écarts dinefficacité sont nuls entre le problème primal en (4) et le problème dual en (8): vi*si-*= 0, pour le problème primal et ur*sr+* = 0 pour le problème dual r. Où si-et sr+ désignent les variables décart, communément appelées « slacks » dans la littérature.

On note que est un scalaire qui indique le score defficacité de la ièmeunité de décision ( 0). Il sagit du coefficient dutilisation des ressources et il sert à distinguer entre les DMUs situés sur la frontière (* =1) (cest à dire quelle est efficace au sens de Farrell et quelle utilise pleinement ses ressources) des DMUs qui ny sont pas ( 1 = Rendements déchelle croissants. Si + 0)Après avoir estimé Ui , Jondrow, Lovell, Materov et Shmidt (1982) ont calculé lefficacité technique de chaque unité par la formule suivante : TE= 1- E[Ui|ei]. Dautres auteurs utilisent exp[-(Ui|ei)] au lieu de 1- E[Ui|ei] pour calculer les scores defficacité.

Plus tard, Battese et Coelli (1988) ont proposé une autre méthode pour estimer lefficacité technique en supposant que Ui nest pas borné en 0. Leur expression est la suivante : E[exp(-Ui )|ei]=(1-(+((e_(i ))/)))/(1-((e_(i ))/) ) .exp(e_i+( ^2 /2)) avec =((_U _V))/ et = _U^2/ .ii) Décomposition selon la loi exponentielle :La moyenne est utilisée (ou aussi le mode) pour estimer la valeur conditionnelle de Ui , Jondrow et al. (1982) ont fourni la valeur de Ui conditionnelle pour lerreur composé dans le cas où lerreur asymétrique suit une distribution exponentielle, par cette formule : E[Ui|ei]= (ei-2V) + [(_V[(e_(i )-_V^2/_V)/_V])/([(e_(i )-_V^2)/_V )])] où =1/_U : Les distributions semi-normal et exponentielle ont un mode de zéro.Lestimation de lerreur par le mode : M (Ui/ei) ={(-e_i- (_v^2)/_u si e_(i ) (_v^2)/_u @ 0 sinon)iii) Décomposition selon la loi normale tronquée :Greene (1993) montre que pour obtenir lefficacité technique pour un modèle tronqué, il suffit de remplacer lexpression (e_(i ) )/ (dans le cas semi-normal) par cette expression: Ui* = (e_(i ) )/+ U_i/iv) Décomposition selon la loi gamma :Le modèle de frontière gamma a été initialement proposé par Greene (1980) dans une fonction déterministe. Plus tard, Greene (1990) a appliqué la densité gamma pour la frontière stochastique Y=f(X,) + v – µ où v ~ N(0, 2 ) et µ ~ G(, P)Ces différentes spécifications de la loi de distribution proposées peuvent entraîner plusieurs estimations de la frontière efficace et par voie de conséquence, la mesure de lefficacité sera différente en fonction de la loi choisie. 2.3.

La distinction entre lapproche paramétrique et lapproche non paramétriqueLes deux différences fondamentales entre les deux approches paramétrique et non paramétrique sont : Pour lapproche paramétrique, cest la prise en compte deffet aléatoire dans la mesure de lefficacité technique et pour lapproche non paramétrique, cest le non spécification dune forme fonctionnelle.Parmi les principaux avantages de la DEA, il est important de souligner quelle nexige pas de définir une forme fonctionnelle spécifique entre les outputs et les inputs, quelle sintéresse aux observations individuelles plutôt quaux moyennes dun échantillon (telle que lapproche SFA), quelle produit une mesure synthétique et individuelle pour chaque unité de décision et quelle peut distinguer linefficacité dans sa dimension technique de leffet déchelle.

La méthode DEA détermine lefficacité technique relative dun groupe DMUs ayant les mêmes types dentrées et produisant le même type de sortie, dans un système complexe comme celui dune société de transport ayant plusieurs dimensions pour ses opérations, tels que le rendement financier, la connectivité de réseau, etc.

La méthode DEA contribue à étudier ces différentes dimensions dune façon holistique (Hanumappa et al. 2015). Aussi, pour évaluer les niveaux defficacité dans les secteurs multi-inputs / multi-outputs, il est préférable dutiliser cette approche car elle ne nécessite pas dinformations sur limportance (ou le poids) de chaque variable ni de leurs prix dans le processus productif et elle peut également impliquer lutilisation de variables non discrétionnaires (Banker et Morey, 1986a et Wober et Fesenmaier, 2004).

Contrairement à lapproche SFA qui nécessite beaucoup plus dinformations sur les variables.Gervais et Thenet (2004) montrent que lapproche DEA permet la prise en compte de « leffet diffus des progrès dans le domaine des services », Meyssonnier (2012) souligne également les apports de la méthode DEA pour mettre en évidence les unités de production les plus efficaces dun réseau, et décrit la méthode comme un « outil emblématique pour le contrôle des opérations des services ».

La méthode DEA permet didentifier les meilleures pratiques (les groupes pairs) qui forment la frontière efficace. Par contre, la méthode SFA cherche léquation dune droite décrivant le mieux possible des observations, traite les données extrêmes comme des données aberrantes et implique une mesure moyenne des efficacités ( Førsund et Sarafoglou, 2002), Aussi, pour la méthode SFA, il y a le risque d’influencer les résultats en imposant une forme fonctionnelle qui n’est pas la plus appropriée pour le secteur en question (Djismara, 2009).La DEA ne va pas sans inconvénients, dune part, les unités analysées doivent être homogènes, de telle sorte quelles utilisent le même type dinputs pour générer le même type doutputs et le contexte dans lequel elles accomplissent leurs processus productifs doivent également être conformes (Cooper, Seiford et Tone, 2007, chapitre 1 et 4).

Aussi, les tests dhypothèses classiques ne peuvent pas être inclus dans la DEA contrairement à lapproche paramétrique. Mais la limite le plus importante du modèle reste sa nature déterministe, c’est-à-dire lors de la mesure de lefficacité, la DEA ne tient pas compte des effets aléatoires, ils sont inclus dans les scores dinefficacité technique .

Par contre, la méthode de frontière stochastique vise à isoler cet effet aléatoire au cours de lestimation dune fonction coût ou production des scores dinefficacité, ce qui permet davoir des résultats plus précis.Pour avoir des résultats pertinents et une estimation solide, les deux méthodes (DEA et SFA) nécessitent un échantillon de taille importante.Selon Cooper et al. (2007, chapitre1 et 4), la fiabilité des résultats dépend du nombre de variables prises en compte et de la quantité dunités analysées dans létude.

A cet égard, Cooper et al. (2007) ont recommandé que le nombre des unités doit être au moins le maximum entre {(s+r), 3.(s+r)} avec s est le nombre doutputs et r est le nombre des inputs. Les deux approches peuvent être adoptées pour lévaluation de la productivité des firmes. Toutefois, chacune a ses avantages et ses limites, à cet égard, le choix entre elles est tributaire de la technologie du secteur en question et de la disponibilité dinformations.

Si on a une idée bien claire et des informations précises et lisibles sur la technologie (tels que le cas de secteur manufacturier), et on a plus dintérêts et plus de besoins que de calculer lefficacité technique (estimation des économies déchelle, calcul délasticités, etc.) lestimation économétrique sera préférable ; par contre, dans le cas de la production de services, et dans les industries multi-produits et de services (tels que les entreprises publiques), où les données ne sont pas aussi claires que celles dans les industries manufacturières, lapproche non paramétrique semble donc plus appropriée (du fait quelle nimpose aucune hypothèse pour la technologie de production ainsi que sa capacité à sappliquer à une industrie multi-inputs / multi-outputs.).

Conclusion Depuis une trentaine dannée, on assiste à un développement des travaux de mesure de lefficacité technique, allocative et déchelle. Ces travaux illustrent bien lintérêt de ce concept dans lanalyse économique et montrent sa portée dans lanalyse de la performance managériale et de la mesure de la productivité dans les différentes industries (Cooper et al. 2000 ; Fried et al. 2008).Lanalyse de ce concept fonde la base de lanalyse microéconomique du comportement du producteur.

Ce comportement doit être rationnel dans le sens où ce dernier cherche à atteindre ses objectifs en tenant compte de ses contraintes particulièrement celles relatives à la dotation des ressources et à sa capacité dêtre techniquement efficace. Cette efficacité implique que ce producteur doit être sur la frontière de production, cest-à-dire, il doit produire le maximum doutput en utilisant pleinement et au moindre coût une certaine quantité des inputs. Plusieurs concepts et phénomènes ont été développés pour bien analyser cette efficacité, tels que la fonction de production, la fonction de coût, la frontière de production, le taux marginal de substitution des facteurs, la courbe disoquant, la droit disocoût, le sentier dexpansion, etc.

Cependant, la théorie microéconomique classique, na rien évoqué sur les méthodes de mesure de cette efficacité. Elle considère que les entreprises sont supposées toutes efficaces et agissent sur leurs frontière de production et elles se comportent toutes de la même manière et combinent leurs inputs selon la même technologie. Or la réalité industrielle met en question cette hypothèse.

Les firmes ne se comportent pas de la même façon et ne sont pas toutes efficaces. Doù la nécessité de chercher une méthode qui nous permet dévaluer et de mesurer lécart defficacité entre les firmes. Plusieurs méthodes ont été développées en passant de lapproche comptable, à lapproche technique, à lapproche économétrique pour aboutir à lapproche de programmation linéaire basée sur les fonctions de distance.

Les premières méthodes comptables et techniques appliquées pour mesurer lefficacité dune firme ont montré leurs limites dans le sens où elles napportent quune vision qualitative ainsi quelles posent des problèmes dans la phase de comparaison entre les unités économiques. A cet égard, en sinspirant des papiers de Farell (1957), plusieurs tentatives théoriques et empiriques visent à apporter des méthodes plus pertinentes et plus solides issues des théories de la microéconomie appliquée permettant non seulement de calculer les scores defficacité, mais aussi de distinguer entre les firmes efficaces et inefficaces, de déterminer comment mesurer les déviations des organisations inefficaces par rapport à la frontière, et de définir les différents phénomènes économiques dégagés par lestimation.

Généralement, ces méthodes se distinguent selon quelles soient paramétriques ou non paramétriques, stochastiques ou déterministes. Pour lapproche non paramétrique, elle consiste à traiter le modèle Data Envelopment Analysis (DEA). Il sagit dune technique de programmation linéaire qui se base sur lapproche théorique de Farell dans la détermination de la frontière de production efficace. Par ailleurs, pour lapproche paramétrique, elle est fondée sur lestimation économétrique de la fonction de production ou de coût exprimées sous une forme fonctionnelle préétablie (Cobb-Douglas, Translog, etc.).

Le modèle correspondant est connu sous le nom « Stochastic Frontier Analysis » (SFA). Il était au début de type déterministe qui ne tient pas compte du terme aléatoire. Par la suite, des auteurs, ont décomposé ce terme derreur et lont intégré dans léquation de la production ou de coûts en deux composante : une reflète le niveau defficacité de la firme et la seconde illustre lévénement aléatoire.Les partisans de DEA admettent que cette approche savère la plus appropriée du fait de sa capacité de tenir compte des industries multi-inputs/multi-outputs.

Par contre, les partisans de la SFA montrent lapport de cette méthode dans la décomposition de lerreur stochastique. Le choix de la méthode destimation que ce soit par lapproche paramétrique ou non paramétrique doit être tributaire des objectifs spécifiques de la mesure, de la nature du secteur en question, de sa propriété, etc. et ce, afin de fournir les informations nécessaires sur la productivité de ce secteur, et les sources dinefficacité et de mettre en place les mécanismes et les actions correctrices.

La mesure de lefficacité par les deux méthodes est omniprésente dans les différents secteurs de lactivité économique ; dans les banques (tels que Chaffai et al. 2015 ; Maudos et Deguevara 2007), dans lagriculture (Nuama, 2006, Batesse et Coelli, 1995) dans les télécommunications, dans le transport, etc.Dans lindustrie de transport, on assiste à un développement considérable détudes traitant les deux modèles.

Dans le chapitre suivant, on va présenter un survol de la littérature traitant lapplication de ces méthodes dans le calcul des niveaux defficacité pour des entreprises du transport collectif des voyageurs. Ce secteur joue un rôle à la fois stratégique dans la vie économique et vital dans la vie sociale. Ce rôle saccentue de plus en plus avec les préoccupations de développement durable des grandes villes et avec laccroissement de la demande du transport des passagers.

Cependant, dans la plupart des pays particulièrement en développement, le secteur du transport collectif des voyageurs souffre de plusieurs problèmes qui entravent son efficacité et limitent la réalisation de ses objectifs socioéconomiques. Doù la nécessité de détecter les diverses sources dinefficacité dont souffre ce secteur, soit à travers les études déjà menées sur ce secteur soit aussi à travers le constat quotidien du fonctionnement du secteur.