Calcul de structures presentation de la methodes des elements finis

Résumé
Lors de de l’élaboration des films minces, les contraintes internes dues à l’énergie em- magasinées génèrent des défauts dans le film mince, entre autres les changements morpho- logiques de ce dernier. Notre travail alors est consacré à l’étude des évolutions morpholo- giques de la croissance des amas lors du dépôt d’une couche mince sur un substrat. Nous avons étudié le comportement d’un amas elliptique sur un substrat soumis à des contraintes d’épitaxie isotropes. Ceci, en calculant son énergie élastique via le code de calcul Abaqus qui se base sur la méthode des éléments finis. Le calcul par éléments finis de l’énergie d’un amas elliptique sur un substrat nous a permis de montrer que la forme elliptique était la plus stable pour les petits amas.

Abstract
The evolution of the micro electronics was royally remarkable lately well towards smaller scales. This reduction in materials has caused some constraints on the components. see the importance of thin layers in electronic components. During the manufacture or exactly the deposit, the clusters of different forms appear and parmes these transformations that of el- lipse towards two circles. a numerical study was established by the ABAQUS calculation code based on the finite element methods, to find the critical size or the clusters are stable. a good push to the manufacturer to have a more stable realization.

Remerciement
Nous tenons à exprimer nos vifs remerciements et nos profondes gratitudes à toutes les personnes qui ont contribué au succès de notre projet et qui nous ont aidé lors de la ré- daction de ce rapport. Au prime abord, monsieur le capitaine de vaisseau Said ZEBAkHE Directeur de l’Ecole Royale Navale pour le sérieux et la compétence enregistrée, ainsi que monsieur l’IMEC1 Abdelaziz MORAJID, directeur des études au sein de l’Ecole Royale Na- vale A notre encadrante Madame A.Bakali pour sa rigueur scientifique et son sens d’écoute et d’échange et notre co-encadrante madame F.EL Abbadi pour nous avoir guider pour me- ner à bien ce projet.

Introduction
L’électronique intervient aujourd’hui dans la vie quotidienne de chacun, que ce soit avec le téléphone mobile ou l’ordinateur personnel ou le téléviseur ou alors, la lecture de disques compacts. Une carte électronique est réalisée à partir d’un assemblage d’une multitude de composants interconnectés. Pour réaliser ces connexions, l’électronique puise des évolu- tions des technologies dans le domaine des matériaux et des films minces, pour miniaturiser et augmenter d’avantage la capacité d’intégration des différents composants électroniques. Lors

du processus de l’élaboration des films minces des contraintes internes sont emmaga- sinées par ces couches minces, donnant lieu à une énergie élastique importante emmaga- sinée dans ces dernières. Pour diminuer cette énergie, plusieurs mécanismes de relaxation peuvent apparaître parmi lesquels, les changements morphologiques.
L’étude de la taille et de l’évolution morphologique des nanostructures développées sur les surfaces des solides, est un problème de la physique des surfaces depuis plusieurs années. Plusieurs travaux ont été réalisés dans ce sens, parmi lesquelles on trouve les travaux de Feng Liu et al. D’autres transitions de forme ont été observées expérimentalement, telles que la transition d’un amas circulaire vers un amas elliptique qui en croissant, deviennent instables et se divisent en deux cercles. La transition entre un amas circulaire et un mas el- liptique étant déjà étudié nous souhaitons contribuer à ces travaux de recherche et étudier la transition ellipse vers deux cercles.
Le manuscrit est composé d’une introduction générale, de trois chapitres et d’une conclu- sion générale. Le premier chapitre est consacré à un rappel bibliographique sur les films minces, leurs applications et leurs modes de croissances Dans le deuxième chapitre, on a présenté le calcul des structures par la méthode des éléments finis et le code de calcul indus- triel « Abaqus ». Dans le dernier chapitre nous nous proposons de calculer par la méthode d’éléments finis, l’énergie élastique d’un amas elliptique soumis à des contraintes d’épitaxie isotropes et d’étudier la transition entre amas elliptique et deux amas circulaires en fonction de la taille de l’amas.
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Chapitre 1
Généralité sur les films minces
La fabrication des composants électroniques dépend de celle des films minces, et leur qualité également. Dans ce chapitre, nous allons présenter un aperçu général sur les films minces, leurs applications et leurs modes de croissance.
1 les Films minces :
Un film mince ou bien une couche mince d’un matériau donné est un élément de ce ma- tériau dont l’une des dimensions qu’on appelle l’épaisseur a été fortement réduite, de telle sorte que cette faible distance entre les deux surfaces limités reste de l’ordre de quelques de dizaines nanomètre à quelques micromètres. D’ailleurs, c’est la raison pri- ncipale pour laquelle les propriétés physiques des couches minces sont différentes de manières significa- tives de celles des corps massiques, qui confèrent à la couche la quasi-bi dimensionnalité, et ceux qui entraînent une perturbation de la majorité des propriétés physiques[1].
La mise en œuvre des technologies de fabrication de couches minces a conduit à de nom- breuses applications dans des domaines très divers. Nous abordons comme exemple, le domaine aéronautique, automobile et des composants électroniques. Concernant les do- maines de l’aéronautique on trouve par exemple le dépôt de cuivre sur polymère pour la réalisation de connecteurs pour l’aéronautique. Dès le début de développement des com- posants semi-conducteur intégrés les technologies couches minces se sont révélées d’un intérêt fondamental pour assurer les interconnexions entre éléments distants d’une même puce.
FIGURE 1.1 – principe de dépôt physique par voie vapeur
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Chapitre 1. Généralité sur les films minces
FIGURE 1.2 – Structures d’hétéroépitaxies accordée en maille, contrainte et relaxée(l’hétéroépitaxie accordée en maille est similaire à l’homoépitaxie).
2 Substrat :
Quelle que soit la procédure employée pour sa fabrication, une couche mince est tou- jours solidaire d’un support (parfois, à la suite de son élaboration, le film mince est séparé du support). Le support (ou substrat) influence fortement les propriétés structurales de la couche mince déposée. La nature du substrat a une influence sur les propriétés physiques de la couche mince déposée. Les propriétés physiques d’une couche mince seront sensible- ment différentes selon que la couche mince sera déposée sur un substrat isolant amorphe (comme le verre) ou un substrat monocristallin (comme un monocristal de silicium).
3 Epitaxie :
Le terme \”épitaxie\” en grec \”épi\” : par dessus et \”taxie \” : ordre a été proposé par le Mi- néralogiste français L.Royer en 1928 pour désigner l’accolement réguler de deux cristaux possédant un certain nombre d’éléments de symétrie communs dans leurs réseaux cristal- lins. On distingue l’homo-epitaxie, qui consiste a faire croître un cristal sur un cristal de na- ture chimique identique, c’est a dire le matériau déposé est le même que le substrat(Si=Si), et l’hétéro-épitaxie, dans laquelle les deux cristaux sont de natures chimiques differents. Il existe trois différentes techniques pour élaborer les couches epitaxiees : l’épitaxie par jet mo- leculaire (MBE). L’épitaxie en phase vapeur (VPE). L’épitaxie en phase liquide (LPE).
3.1 Epitaxie par jets moleculaires :
L’épitaxie par jets moléculaire (ou MBE \”Molecular Beam Epitaxy\” ) est l’une des nom- breuse méthodes de dépôt de monocristaux. La MBE est largement utilisée dans la fabri- cation des dispositifs des semi-conducteurs en particulier le transistors. Cette technique consiste a envoyer des flux atomiques sur un substrat monocristallin choisi de manière a avoir des paramètres de maille proches pour réaliser une croissance épitaxiale.
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FIGURE 1.3 – une couche mince 3.2 Epitaxie en phase vapeur
L’épitaxie en phase vapeur (ou vapor phase epitaxy, VPE ou chemical vapor desposition, CVD) a été développée dans les annees 70. Elle est basée sur la réaction de flux gazeux orga- niques a la surface d’un substrat chauffe a haute température. C’est une technique de dépôt de couches minces par croissance épitaxiale dans laquelle les éléments a déposer sous forme d’organometalliques, sont amenés vers le substrat monocristallin par un gaz vecteur. Elle est très utilisée dans l’industrie des semi-conducteurs en raison de sa bonne reproductibilité et des fortes vitesses de croissances accessibles.
3.3 Epitaxie en phase vapeur
L’épitaxie en phase liquide (LPE) est une méthode de croissance quasi a l’équilibre. Cette technique consiste a faire croître le cristal en projetant un liquide sur le substrat. Elle est très rapide : on peut obtenir des vitesses de l’ordre 1micron/seconde. Cette rapidité entraîne un manque de précision des épaisseurs obtenus par rapport aux autres méthodes.
4 Intérêt des amas sur une surface
L’utilisation des films minces sur une surface élaborés par pulvérisation ionique ou d’autres techniques de dépôt, dans de nombreux domaines de l’industrie est devenue courante et in- dispensable grâce à leurs propriétés. Ils peuvent être utilisés par exemple dans : −L’amélioration des performances des outils de coupe,
−La fabrication de circuits intégrés pour des applications électroniques,
−L’amélioration des différentes propriétés des matériaux massifs (dureté, résistance à un milieu agressif),
4. Intérêt des amas sur une surface
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Chapitre 1. Généralité sur les films minces
Néanmoins, l’apparition lors de l’élaboration de ces films de contraintes internes de com- pression parfois importantes influe sur leurs performances. En effet ces contraintes peuvent provoquer des changements importants des propriétés des films, être à l’origine de décolle- ments spontanés ou même de la rupture de ces films minces.
5 Les différents modes de croissance
Un film mince déposé sur un substrat peut adopter différentes morphologies en fonction de son mode de croissance. Nous allons montrer comment à partir de bilans énergétiques, nous pouvons prévoir ces différentes modes de croissance. Les nombreux travaux dans la croissance des films minces, ont permis de distinguer trois modes de croissance :
MODES DE CROISSANCE
Les trois principaux modes de croissance des couches minces sont illustrés sur la figure ci- dessous [1] qui présente l’évolution de la morphologie de la surface au fur et à mesure que la couverture de la surface (exprimée en monocouches, MC) augmente. [1] J.B. Hannon, N.C. Bartelt, B.S. Swartzentruber, J.C. Hamilton,and G.L. Kellogg,
Phys. Rev. Lett.79,4226 1997.
III.1. Croissance Volmer-Weber
Pendant la croissance tridimensionnelle (3D), ou croissance Volmer-Weber, de petits germes sont formés à la surface du substrat. Ceux-ci croissent pour former des îlots qui coalescent ensuite pour donner une couche mince continue. Ce mode de croissance est habituellement favorisé lorsque les atomes formant la couche déposée sont plus fortement liés entre eux qu’avec le substrat comme c’est le cas pour la croissance des métaux sur les isolants ou sur des substrats contaminés.
III.2. Croissance Frank-van der Merwe
La croissance bidimensionnelle (2D) couche par couche, ou croissance Frank-van der Merwe, est favorisée lorsque l’énergie de liaison entre les atomes déposés est moindre ou égale à celle entre la couche mince et le substrat. En plus de la croissance homoépitaxiale, on re- trouve de nombreux exemples en hétéroépitaxie des semi-conducteurs (par exemple GaA- lAs/GaAs) et des métaux (par exemple Cd/W).
III.3. Croissance Stranski-Krastanov
Le troisième mode de croissance, nommé Stranski-Krastanov (SK), est une combinaison des deux modes précédents : après un début de croissance bidimensionnelle, on observe un changement de mode de croissance alors que la formation d’îlots devient énergiquement fa- vorable. Cette transition d’un mode de croissance 2D vers 3D n’est pas encore complètement comprise bien qu’elle puisse être induite par la relaxation de l’énergie élastique emmagasi- née dans une hétérostructure contrainte. Ce phénomène est à l’origine de la formation des structures auto-organisées et des ondulations dans les structures à contraintes compensées.
6 Amas contraints
En général, les couches minces utilisées dans divers applications sont sièges de contraintes. D’une manière générale, on peut identifier deux catégories de contraintes :
• les contraintes extrinsèques apparues dues à la différence entre les coefficients de dilata- tion thermique des couches minces et du substrat (contraintes thermiques) ;
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FIGURE 1.4 – Différents modes de croissance
FIGURE 1.5 – Deformation du film et du substrat lors du dépot
• les contraintes intrinsèques spécifiques au matériau.
Les contraintes totales sont donc une superposition des contraintes extrinsèques avec celles intrinsèques. Les origines physiques des contraintes intrinsèques sont multiples. Il s’agit, tout d’abord, de l’effet du désaccord entre les paramètres de mailles du substrat et de la couche mince à déposer. De plus, on peut citer l’effet des forces intermoléculaires prove- nant des parties du réseau cristallin étant hors de position du minimum énergétique dans le solide. L’importance des contraintes intrinsèques est liée directement au procédé de fabrica- tion : elle varie en fonction de la densité des impuretés et des défauts de la structure présen-
6. Amas contraints
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Chapitre 1. Généralité sur les films minces
tés dans la couche mince, ainsi que du régime thermique suivi durant le dépôt. L’origine de contraintes extrinsèques est en général la température du substrat durant le dépôt est plus élevée que la température ambiante T. Par conséquent, à l’issue du dépôt, la couche mince subit une déformation thermomécanique qui entraîne dans cette couche des contraintes mécaniques appelées « extrinsèques ».
6.1 contrainte extrinsèque : contrainte thermique
les contraintes thermique est due à la différence des coefficients de dilatation thermique de revêtement et du substrat . La contrainte thermique biaxiale induite dans le film par la liaison dans le film par la liaison film-substrat est donné par la relation
Ef
σ=1−Vf (αs−αf)dT (1.1)
sont respectivement le module d’Young, le coefficients de dilatation thermique du film et du substrat Tmes et Td sont respectivement la température de mesure (déneralement égale à la température ambiante), et le température de dépôt .
6.2 contraintes intrinsèques : contraintes de cohérence (Misfit)
Ces contraintes se développent lorsque le film possède une interface cohérente avec le substrat sur le quel il est déposé , lorsque les réseaux cristallins des deux éléments sont par- faitement adaptés , on parle d’homoépitaxie , et il n’y a pas des contraintes d’adaptation. Par contre .quand il y a un désaccord des mailles caractérisé par :
σcoh = αs −αf (1.2) αs
étant respectivement les paramètres de mailles du substrat et du film pour être en épi- taxie sur le substrat , le film doit se déformer ce qui entraîne des contraintes de cohérence
σcoh =F(Ccoh) (1.3) 6.3 Contraintes dues à l’introduction de défauts en fonction des modes de
dépôt
Des contraintes de croissance de tension ou de compression apparaissent très souvent lors de dépôt des films minces par des procédés impliquant des énergies élevées .
6.4 Mécanismes de relaxation des contraintes dans les couches minces
Ces contraintes donnent lieu à une énergie élastique importante emmagasinée dans les couches minces .Pour diminuer cette énergie plusieurs mécanismes de relaxation peuvent apparaître :
– Changements morphologiques.
-Introduction de dislocation d’épitaxie à l’interface FILM-SUBSTRAT. – Dé cohésion du film , flambage et fissuration .

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Quand le film est décollé sur une longueur l et si l est suffisamment grand , il peut flam- ber pour former des cloques .
Plusieurs travaux ont été fait à propos par les physiciens A.O FOPPL et T.V.KARMAN . plu- sieurs types de cloques ont été étudiés comme les rides droites , les cordons de téléphone ou bien les cloques circulaires qui s’organisent généralement en réseau .
7 Conclusion
Après avoir définit les couches minces, leurs propriétés et l’effet de la dilatation ther- mique sur les matériaux, on doit montrer comment étudier ces contraintes en cherchant les états de stabilité, et pour se faire on doit suivre des méthodes d’analyse précises. Dans le chapitre suivant on s’intéressera au calcul des structures par la méthode des éléments finis.
7. Conclusion
De-cohésion et flambage
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Chapitre 2
Calculs des structures par la méthode des éléments finis
Le but de ce chapitre est modéliser le film mince par une plaque mince elliptique en contact latéral avec un support rigide plan , formuler les équations de base pour représen- ter les problèmes liés aux différentes contraintes(la distance entre les films sur le substrat , dilatation des composantes de la structure sur la déformation , l’effet de la nature du maté- riau…) Afin de faire la conception de cette structure,nous avons besoin de savoir comment cette dernière va réagir sous le poids de différentes contraintes. les équations,differentiels, définissants ces contraintes sont connues, mais leurs résolution restent difficile,surtout pour les formes complexes. néanmoins on se réfère a la Méthodes des Éléments Finis.
1 Méthodes des éléments finis 1.1 Principe générale
Les principales étapes de construction d’un modèle éléments finis, qui sont détaillées par la suite,après la détermination de la formulation variationnelle par la minimisation d’éner- gie potentielle sont les suivantes :
−1)discrétisation du milieu continu en sous domaines
−2)construction d’approximation nodale par sous domaine
−3)calcul des matrices élémentaires correspondant à la forme intégrale du problème −4)assemblage des matrices élémentaires
-EXEMPLE DE POUTRE EN TRACTION :
Ce paragraphe porte sur l’utilisation de la MEF dans la RDM et nous allons voir par la suite a travers un exemple de poutre en traction comment nous pourrons utiliser la MEF afin de faire un bon dimmensionnement
nous allons modéliser une poutre de longueur L de section S et un module de Young E ,cette poutre est encastre et soumise a un effort de traction .
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FIGURE 2.1 – modélisation du maillage et de la distribution des contraintes d’une frégate A-DISCRÉTISASSIONS(MAILLAGE) DU PROBLÈME
Nous allons modéliser la poutre par un élément unidimensionnel a deux extrémités qu’on va appeler noeuds(un a l’encastrement et l’autre a l’effort)
1. Méthodes des éléments finis
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Chapitre 2. Calculs des structures par la méthode des éléments finis
B-CONSTRUCTION D’APPROXIMATION NODALE PAR SOUS DOMAINE :
Ces noeuds ont eux aussi un déplacement, x1 pour le noeuds 1 et x2 pour le noeud 2
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1. Méthodes des éléments finis
C-CALCUL DES MATRICES ÉLÉMENTAIRES :
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Chapitre 2. Calculs des structures par la méthode des éléments finis
D-assemblage des matrices élémentaires :
Matrice de rigidité,les CL en déplacement ,les Cl en effort
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2 Les codes de calculs
Les codes de calcul des structures métalliques les plus connus dans le domaine de re- cherche en mécanique sont : Abaqus, Catia, Castem2000… Ces codes de calcul sont basés sur la méthode des éléments [U+FB01]nis. On a choisi pour notre travail le logiciel Abaqus, parce qu’il se caractérise par une interface graphique facile à comprendre et grâce à la haute précision des résultats obtenus.
3 ABAQUS
3.1 INTRODUCTION
ABAQUS est un code de calcul par la méthode des éléments finis créé en 1978,développé par ABAQUS, Inc. Il se compose de trois produits : ABAQUS-tandard, ABAQUS-EXPLICIT et ABAQUS-CAE ABAQUS-tandard est un solveur généraliste qui recourt à un schéma tra- ditionnel d’intégration implicite. Le solveur ABAQUS-xplicit emploie un schéma d’intégra- tion explicite pour résoudre des problèmes dynamiques ou quasi-statiques non-linéaires. ABAQUS-AE constitue une interface intégrée de visualisation et de modélisation pour les dits solveurs. Chacun de ces produits est complété par des modules additionnels et-ou option- nels, spécifiques à certaines applications. Les produits ABAQUS, ABAQUS-CAE notamment, sont écrits intégralement avec les langages C++, Fortran pour les parties calcul et Python pour les scripts et les paramétrisations. La gestion de l’interface graphique est assurée par FOX Toolkit.
3.2 Présentation des modules du logiciel
ABAQUS est divisé en unités fonctionnelles appelées modules. Chaque module contient les outils qui sont propres à une partie de la tâche de modélisation.
− PART : Le module Part permet de créer tous les objets géométriques nécessaires à notre problème, soit en les dessinant dans ABAQUS CAE, soit en les important d’un logiciel de des- sin tiers.
−PROPERTY. Le module Property permet, comme son nom l’indique, de définir toutes les propriétés d’un objet géométrique ou d’un partie de ces objets.
−—ASSEMBLY. Ce module permet d’assembler les diffents objets géométriques créés dans un même repère de coordonnées global. Un modèle ABAQUS contient un seul assemblage.
−TEP.Cemodulepermetdedéfinirtouteslesétapesetlesrequêtespourleposttraitement, c’est à dire le moment (temps) à partir duquel une force est appliquée et jusqu’à quand, il est aussi possible de créer des forces ou des conditions limites qui s’activent à des moments donnés.
− INTERACTION. Grâce ce module, il est possible de spécifier toutes les interactions entre les Page 22 sur 38
2. Les codes de calculs

Chapitre 2. Calculs des structures par la méthode des éléments finis
différentes parties et régions du modèle, qu’elles soient mécaniques, thermiques ou autres. Il faut savoir qu’ABAQUS ne prend en compte que les interactions explicitement définies, la proximité géométrique n’étant pas suffisante.
− Load : Le module Load permet de spéci[U+FB01]er tous les chargements, conditions li- mites et champs. Il faut savoir que les chargements et les conditions limites sont dépendants des steps, par exemple une force est appliquée au step 1 mais inactive au step 2.
− Mesh : Ce module contient tous les outils nécessaires pour générer un maillage élément [U+FB01]ni sur un assemblage. Optimisation. :item Job : Une fois que toutes les tâches de dé[U+FB01]nition du modèle ont été réalisées, il faut utiliser le module Job pour analyser ce modèle. ABAQUS va alors réaliser tous les calculs nécessaires et en tirer des résultats.
− Visualisation : Ce module permet de visualiser le modèle et les résultats, les courbes de charges, les déformations… Sketch :Ce module permet de créer des formes bidimension- nelles qui ne sont pas associés à un objet. Il peut être utilisé pour des extrusions par exemple.
− Les différents modèles sont pour la création de la géométrie, la définition de différentes propriétés du matériau et le maillage. Le module Job est celui qui gère le passage du calcul de simulation, et le dernier s’occupe de l’exploitation des résultats sous formes de diverses visualisations.
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3. ABAQUS
3.3 Système d’unités
Comme dans beaucoup de logiciels, il n’y a pas de système d’unités fixé. C’est à l’utilisa- teur de se définir son propre système
Sent Mail – ouakrimyoussef95 gmail com – Gmail(13).png
3.4 Énergie totale produite :
Toutes ces variables sont écrites lorsque la production totale d’énergie est demandée. Les totaux de l’historique énergétique peuvent être demandés à la base de données de sortie pour une partie du modèle ainsi que pour l’ensemble du modèle.
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Chapitre 2. Calculs des structures par la méthode des éléments finis
ALLAE : Pour déterminer ce qu’est une valeur excessive d’énergie de contrainte artifi- cielle, l’approche la plus utile consiste à comparer l’énergie de contrainte artificielle aux autres énergies internes. Si le matériau est élastique, une comparaison avec l’énergie de dé- formation élastique est appropriée.
Dans ABAQUS / Explicit, la variable ALLAE est l’énergie totale dissipée sous forme d’éner- gie de déformation artificielle et la variable ALLSE est l’énergie de déformation élastique, ou récupérable. ALLAE contient des termes à la fois visqueux et élastiques ; Cependant, comme le terme visqueux est généralement prédominant, la majeure partie de l’énergie utilisée pour produire de l’énergie de contrainte artificielle est non récupérable. ALLCD :
Energy dissipated by viscoelasticity ,Ecd Abaqus Explicit ne calcule pas la dissipation d’éner- gie de la viscoélasticité linéaire, les quantités ALLCD sont rapportées à zéro.
Pour ALLVD, c’est l’énergie dissipée par la viscosité volumineuse introduite par Abaqus Ex- plicit pour stabiliser les solutions. Donc, si vous voulez obtenir une dissipation d’énergie en raison de la propriété viscoélastique d’un polymère comme le caoutchouc, vous devez utili- ser ALLCD.
ALLDMD : Damage dissipation energy Abaqus fournit un mécanisme permettant d’in- clure une dissipation permanente de l’énergie et des effets d’adoucissement des contraintes dans les mousses élastomères. La fonctionnalité est principalement destinée à la modélisa- tion de l’absorption d’énergie dans les composants de la mousse soumis à une charge dy- namique avec des taux de déformation élevés par rapport au temps de relaxation caractéris- tique de la mousse ; dans de tels cas, il est acceptable de supposer que le matériau en mousse est endommagé de façon permanente.
ALLEE :
L’énergie potentielle électrostatique (ou simplement énergie électrostatique) d’une charge électrique q, placée en un point P baignant dans unpotentiel éléctrique V est définie comme le travail à fournir pour transporter cette charge depuis l’infini jusqu’à la position P . Elle vaut donc
Epe = q V ( P ) si on se place dans le cas où les sources générant le potentiel électrique V sont distribuées dans une région bornée de l’espace, ce qui permet d’attribuer une valeur nulle du potentiel à l’infini.
ALLQB : Energy dissipated through quiet boundaries (infinite elements). L’énergie dissipée a travers les conditions aux limites
ALLWK : Travail externe
ALLFD : La dissipation par friction dans un écoulement turbulent se produit lorsque l’éner- gie cinétique est transférée à des échelles de plus en plus petites jusqu’à son élimination finale par diffusion moléculaire.
ALLIE : L’énergie interne d’un system thermodynamique est une fonction d’etat extensive, associée à ce système.
Elle est égale à la somme de l’energie cinetique de chaque entité élémentaire de masse non nulle et de toutes les energies potentielles d’interaction des entités élémentaires de ce sys- tème. ALLIE = ALLSE + ALLPD + ALLCD + ALLAE + ALLQB + ALLEE + ALLDMD ALLJD : L’effet Joule est la manifestation thermique de la resistance electrique qui se produit lors du pas- sage d’un courant electrique dans tout materiau conducteur.
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ALLKE : l’energie que possède un corps du fait de son mouvement par rapport à un re- ferentiel donné. Sa valeur dépend donc du choix de ce référentiel. Elle s’exprime en joules (J)
ALLKL : Une collision inélastique est une collision au cours de laquelle l’énergie cinétique des corps qui entrent en collision est totalement ou en partie convertie en énergie interne dans au moins un des corps. Ainsi, l’énergie cinétique n’est pas conserve.
ALLPD : plastic dissipation energy ALLSD : Static dissipation ALLSE : L’énergie de défor- mation, énergie de déformation, est l’énergie stockée par un système en déformation. Pour les matériaux linéairement élastiques, l’énergie de déformation est :
ETOTAL : À tout système ferme, on peut associer une grandeur appelée énergie E. Cette énergie est la somme de l’énergie cinétique(Ec), de l’énergie potentielle (Ep) et de l’énergie interne (U)
3. ABAQUS
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Chapitre 2. Calculs des structures par la méthode des éléments finis
conclusion :
Nous avons dé[U+FB01]ni dans les chapitre précédents les [U+FB01]lms minces, les e[U+FB00]orts qu’ils soumissent, la méthode des éléments [U+FB01]nis,son utilisation pour le calcul des structures et les di[U+FB00]érents codes de calcul qui se base sur cette méthode.Par la suite
on va modéliser un [U+FB01]lm mince sur le logiciel Abaqus a[U+FB01]n de trouver le cas le
plus stable pour le dépôt de ces [U+FB01]lms quand le substrat est soumis à un e[U+FB00]ort thermique.
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Chapitre 3 Application
La résolution des problèmes non-linéaire par les méthodes analytique est difficile , alors pour les résoudre on utilise plusieurs logiciel industriels d’analyse numérique. l’objectif de ce chapitre est d’appréhender de façon pragmatique par une présentation de la coté numé- rique des codes utilisés dans ce rapport , et la résolution du problème proposé dans le cas linéaire.
1 Travaux antérieurs sur la modélisation des amas contraints :
Dans les travaux précédents, on a fait une étude bibliographique sur les films minces, leurs méthodes de fabrication, et leur réaction à une dilatation thermique. Après la remarque concernant l’évolution des amas pendant le dépôt des couches pour construire un fillm mince, on a modélisé le problème (l’ensembleamas,substrat) en se basant sur le code de calcul ABAQUS qui donne une haute précision des calculs grâce à l’utilisation de la méthode des éléments finis. Après la variation des paramètres de l’amas (ellipse-cercle) sous l’effort thermique,on a calculé l’énergie totale dans chaque cas, et on a trouvé après l’analyse des graphes obtenues que le cas le plus stable pour l’amas est d’une forme circulaire pour les petites tailles, et en dépassant la taille critique le cas le plus stable est d’une forme ellip- tique. Après une comparaison avec des études théoriques déjà faites dans ce domaine par des grands chercheurs on avaient déduit que le modèle numérique par le logiciel ABAQUS est validé par l’apparition d’un seul minimum d’énergie dans le cas anisotrope et isotrope
2 Résultats expérimentaux
Il existe plusieurs travaux de transition de forme par exemple le résultat de J.Colin dans son papier Transformation of a cubic precipitate to a butter[U+FB02]y shape due to lo- calized instabilités à partir de résultat classiques de la di[U+FB00]usion sous contrainte. V.Zielasek et al [4] ont montré que l’amas de silicium changent d’une forme circulaire a une forme elliptique quand il dépassent une taille critique. Pour interpréter leurs résul- tats, ils ont calcule l’énergie de la con[U+FB01]guration, qui est la somme de l’énergie élas- tique et l’énergie de l’étape au niveau du bord d’amas. l’énergie élastique des amas ellip- tiques étant di[U+FB03]ciles a calculer analytiquement, ils ont étudie la transformation d’un lot carre sur une le rectangulaire avec la même démarche. On peut parler sur le résultat de Adam Li,Feng Lui et al, qui ont ete publie dans son article Equilibrium shape of two- dimensional island under stress,qui se sont base sur l’etat anisotrope ou ils ont montre que
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Chapitre 3. Application
l’anisotropie de forme d’équilibre es amas en deux dimensions dans la croissance hetero- pitaxie dépend de la taille d’amas dans lequel la forme d’amas a été classiquement assi- milée au rapport des énergies de marche,l’anisotropie de contrainte de surface du substrat peut in[U+FB02]uence la forme d’amas [5]. La forme étudier par Adam Li est la forme rec- tangulaire. On peut trouver plusieurs études qui sont consacre sur des mécanismes fon- damentale par exemple des paramètres cinétiques qui comprennent le coe[U+FB03]cient de di[U+FB00]usion de surface, extraite de la densité du nombre des amas en 2D en fonc- tion de la température [6]. L’anisotropie de la di[U+FB00]usion du surface [7] et atome ab- sorbe colle aux bords d’amas[8], déduit de l’anisotropie de forme d’amas, et la cinétique de di[U+FB00]usion au bord d’amas[9]et traverse les coins d’amas [10]. Et pour les para- mètres thermodynamiques inclure les énergies étape, détermines partir des formes insu- laires d’équilibre et de leurs [U+FB02]uctuations thermiques [11,12]. En plus on peut voir la transition carre-rectangle étudier par Feng Lui dans son livre Modeling and simulation of strain mediated nanostructure formation on surface volume IV pg(577-625) d’après cette etude Feng Lui démontre que la transformation d’amas carre en rectangle est la plus stable d’apres un calcul théorique. Feng Lui applique la théorie élastique pour étudier la stabi- lité ́e d’un amas bidimentionnelle isotrope contrainte déformation sur un substrat semi- in[U+FB01]nit[1]. Il suppose une forme rectangulaire d’amas. La mécanique analytique et la théorie des champs étant des sciences supérieures que l’on pourrait pas pratiquer sans l’aide des outils élabores. tandis que l’élasticité est juge comme une science de l’ingénieur qui ne saurait quoi faire du calcul variationnel. ceci est d’autant plus surprenant que les méthodes numériques telles que les éléments [U+FB01]nis sont justement basées sur l’approche varia- tionnelle[13]. L’énergie élastique des précipites plans contraints en épitaxie sur une surface augmente non linéairement avec leur diamètre.ils doivent donc devenir instables quand ils atteignent une certaine taille, chose que nous allons démontrer dans la suite pour une tran- sition ellipse-deux cercles
3 présentation de la modélisation effectuée Étude de la problématique
Pendant la fabrication et au moment de dépôt des couches minces, on a trouvé que la structure finale de la couche mince dépend beaucoup de celle initial, et on a remarqué une transformation des amas soit dans un premier temps, les atomes forment un cercle et en continuant le jet il devient ellipse (figure 3.2), ou elles forment un carrée et par suite le re- groupement se transforme en rectangle (figure 3.3).
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FIGURE 3.1 – transformation cercle-ellipse
Une étude analytiques a été faite pour les deux cas de transition de forme, ou on a dé- montrer que les amas de silicium changent d’une forme circulaire à une forme elliptique quand ils dépassent une taille critique. pendant l’étude on a calculer l’énergie de la confi- guration, qui est la somme de l’énergie élastique et l’énergie de l’étape au niveau des bord d’amas. la transformation carrée rectangle a été étudie par Feng Lui dans son livre Modeling and simulation of strain mediated nanstructure formation on surface volume IV pg(577-625) ou il a démontrer que la transformation d’amas carrée en rectangle la plus stable d’après un calcul théorique. D’autre part, un calcul identique a permis de confirmer la transition entre amas de forme carrée et amas de forme rectangulaire. une comparaison entre les tailles cri- tiques montre que la transition carrée rectangle se passe pour une taille inférieur a la transi- tion cercle ellipse ( fig. 3.4).
FIGURE 3.2 – transformation carrée-rectangle
3. présentation de la modélisation effectuée
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Chapitre 3. Application
FIGURE 3.3 – transformation carrée-rectangle
L’aspect et la répartition des amas déposés sur une surface demande une maîtrise du choix des caractéristiques physique, géométriques et thermiques pour que ces composantes aient un bon rendement, ce qui nous permet d’évaluer ces propriétés Dans ce travail,on a étudie d’une manière analytique la stabilité de forme d’amas circulaires en épitaxie sur une surface. on a conclure que la forme d’équilibre de l’amas est un cercle Au-delà de la taille critique qu’on a détermine il se transforme en ellipse[8]. Alors pour étudier la transformation cercle ellipse on va la modéliser suite au code de calcul ABAQUS quand le substrat est soumis à un effort thermique ce qui est toujours le cas. Notre application sert à calculer l’énergie pour chaque volume afin de trouver celui qui est stable et finir par guider le fabricateur à choisir le volume convenable.
Étude : Transformation cercle-ellipse
A-Description du modèle Pour notre application, on va prendre un cristal parallélépipédique comme substrat, d’épaisseur h = 20nm, longueur L = 200nm et largeur l = 200nm, de module d’Young E = 21GPa et de coefficient de Poisson = 0.3. Concernant l’amas, c’est une ellipse plate de hauteur h = 0.5nm , de petite taille et centrée sur le substrat pour éviter les interactions élastiques avec les bords du substrat.L’amas a les même carac- téristiques mécaniques du substrat : module d’Young E = 21GPa et coefficient de Poisson = 0.3. L’amas étant en épitaxie avec le substrat, la différence de paramètre cristallin induit des déformations d’épitaxie 0 = xx = yy = zz.
B-.Les étapes de modélisation
A l’aide d’Abaqus CAE, et en prenant en considération les valeurs données précédem- ment, les étapes de modélisation sont :
− Dans l’arbre du modèle double cliquer sur Parts pour créer une nouvelle pièce. La boite de dialogue Create Part apparaît.
− Nommer la pièce (par exemple substrat) et choisir 3D pour un solide tridimensionnel, Dé- formable et Solide de type Extrusion dans la zone de dialogue de la pièce à créer. Dans la zone Taille approximative du champ texte, entrer 200. Cliquer sur Continue pour sortir de la boite de dialogue Create Part (figure 3.5).
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FIGURE 3.4 – transformation carrée-rectangle
3. présentation de la modélisation effectuée
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Chapitre 3. Application
− Cliquer sur l’outil Create Ellipse pour créer les lignes du film sur un substrat.
− Cliquer sur Cancel pour sortir de l’outil Lines/connected Sélectionner Done pour sortir de mode dessin.
−On choisit pour depth 20
− De la même façon on définit la géométrie de l’amas.
− Mais pour l’hauteur on prend depth 0.5
−Le dessin final du substrat et amas est obtenu :
FIGURE 3.5 – transformation carrée-rectangle
Pour définir les propriétés du matériau :
− Dans l’arbre du modèle double cliquer sur Materials pour créer un nouveau matériau. La boite de dialogue Edit Material apparaît. Nommer le Material-amas
− Ensuite, il va falloir donner les caractéristiques de notre matériau. Vous pouvez trouver toutes les caractéristiques que nous pouvons donner (plasticité, conductivité…).
− Sélectionner Mechanical Elasticity Elastic (figure 3.8).
− Entrer 21 pour le module de Young et 0.3 pour le coefficient de Poisson.
− Sélectionner Mechanical Expansion.
− Entrer 1 pour coefficient d’expansion.
− De la même façon on définit le matériel du substrat, nommer le Material-substrat, Mais entrer 0 pour coefficient d’expansion.
− Cliquer sur Continue
Ensuite, il faut affecter la section au substrat :
− Dans l’arbre du modèle, ouvrer l’arborescence de Parts en cliquant sur “+” puis celle de substrat.
− Double-cliquer sur Section Assignement.
− Sélectionner toute la géométrie en cliquant en haut à gauche de la fenêtre, déplacer le cur- seur en créant une boite autour du film substrat, puis relâcher la souris.
− Valider votre choix en cliquant sur Done.
La boîte de dialogue Edit Section Assigne-ment s’ouvre alors, choisissez Section-filmsubstrat puis accepter OK et fermer la boîte de dialogue

Double cliquer sur Sections dans l’arbre afin de créer une section. Dans la boîte de dia- logue Create Section.
− Nommer la section : Section-amas.
− Choisir dans la liste des catégories Solide.
− Dans la liste des types, choisir Homogeneous.
− Cliquer sur Continue. Et on suit le même procédure qu’on a fait sur le substrat pour affec- ter les propriétés du matériel-amas sur l’amas .
Dans cette étape nous définissons une incrémention de 0.25 afin de réduire le temps de calcul
3. présentation de la modélisation effectuée

CONCLUSION GENERALE
Ce mémoire avait pour ambition de faire une étude numérique de quelques structures sous forme de films minces déposés sur un substrat à l’aide des codes industriels Abaqus. Cette étude vise l’influence de quelques paramètres sur l’énergie de déformations ainsi que le comportement des films vis-à-vis le substrat. Il a fallu en premier temps définir les no- tions scientifiques du sujets, tels que : les films minces, le substrat et la technique d’épi- taxie. En indiquant leurs domaines d’utilisations dans notre vie courante, leurs techniques de développement et leurs avantages. Entre autres, nous avons distingué particulièrement des phénomènes critiques qui apparaissent au cours d’utilisations de ces composants élec- troniques. Pour comprendre ce phénomène, Afin de minimiser les défauts de fabrication, on s’est pointé sur la méthode numérique des éléments finis et son principe. En second lieu, nous avons présenté le code de calcul par méthode d’éléments finis, Abaqus. En prime, un exemple d’application pour illustrer le principe à suivre lors de l’utilisation du code. Après, nous nous sommes canalisé sur une étude numérique sur des films minces déposés sur un substrat en trois dimensions par le code de calcul Abaqus. Cette étude concerne l’influence de l’épaisseur sur l’énergie de déformations du matériau, l’influence de la distance entre les films, de la température, de la dilatation thermique et de la nature de matériaux sur la défor- mation de la structure complète c’est-à-dire les films et le substrat.
La simulation éléments finis, réalisée avec le code ABAQUS, permet de retrouver cette in- stabilité. Après la variation des paramètres de l’amas (ellipse-deux cercles) sous l’effort ther- mique, on a calculé l’énergie totale dans chaque cas, et on a trouvé après l’analyse des graphes obtenues que le cas le plus stable pour l’amas est d’une forme circulaire pour les petites tailles, et en dépassant la taille critique le cas le plus stable est d’une forme elliptique. Du- rant notre étude, on a rencontré un grand manque de références surtout pour le cas ellipse- cercle. Ainsi, la maîtrise du code de calcul ABAQUS nous a pris une durée importante grâce a la difficulté de modélisation au niveau nanométrique et à la haute précision des calculs prévue.
Cette étude va aider le technicien dans le laboratoire à choisir le cas le plus stable selon la forme voulu en se servant d’un modèle où on a besoin seulement de modifier les paramètres, et en laissant le reste du travail au code de calcul pour obtenir l’énergie et le cas critique qu’il ne faut pas dépasser. la transformation des amas ne se limite pas seulement au cas isotrope mais on peut aussi faire l’étude dans le cas anisotrope. Cela est un sujet d’une autre étude qu’on doit faire

−[1] M.-A. Pinault,TECHNIQUE DE DEPOT, Master MATE- CEDER, 2006.
−[2] Hélène Isselé, Caractérisation et modélisation des couches minces pour la fabrication de dispositifs microélectroniques – ap- plication au domaine de l’intégration 3D. Micro et nanotechnolo- gie/Microélectronique. Université Grenoble Alpes, 2014.
−[3] I. B. Freund et S. Suresh, Thin Film Materials – Stress, de- fect formation and surface evolution, Cambridge University Press, 2003.
−[4] A. Billard et F. Perry, «Pulvérisation cathodique magnétron» Techniques de l’ingénieur, pp. 1-12, 2010.
−[5] J.-L. Regolini, «Technologie de fabrication de la microélectro- nique – Opération élé- mentaire» Technique de l’ingénieur, pp.1-26, 1991.
− [6] Harris.Benson « physique : 1.Mécanique,16.6 La dilatation Thermique, de boeck», 2008. −[7] B.Braikat, « calcul des structures par la methode des element finis, Poutre, Plaque et Coque». Semestre 2, Module : Mecanique des structures, Université Hassan2-Mohammedia, Faculté des sciences Ben M’Sik,2013-2014.
−[8] Z. Berghal, A. Bakali, M. Talea, J. Grilh, J. Colin, and J. Durinck«Circular-to-elliptical-to- circular shape transitions of strained islands», Faculté des Sciences, Ben M’sik